Gewöhnliche Differentialgleichungen – Beispiele

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Bimolekulare Reaktion 2. Ordnung

Ein Molekül $A$ reagiert mit einem Molekül $B$ zu einem neuen Molekül vom Typ $C = AB$:

\begin{align}
A+B \rightarrow C=A B
\end{align}

Zu Beginn der Reaktion (d. h. zum Zeitpunkt $t_0$) sollen $a$ Moleküle $A$ und $b$ Moleküle vom Typ $B$ vorhanden sein. Nach der Reaktionszeit $t$ haben sich $x$ neue Moleküle C gebildet.

Zeit / Anzahl noch vorhandener Moleküle / Typ der Moleküle:

  • $t_0$ / $a$ / $A$
  • $t_0$ / $b$ / $B$
  • $t$ / $a – x$ / $A$
  • $t$ / $b – x$ / $B$

Die Reaktion beginnt nun und im Zeitintervall $dt$ sollen $dx$ neue Moleküle entstehen. Uns interessiert der „Umsatz“ – also die Anzahl der neu gebildeten Moleküle $C$ in einer bestimmten Zeit: $x = x(t)$. In diesem Fall sind auf Erfahrungen angewiese, wir können uns nicht an Gesetzen orientieren, wir treffen daher folgende…

Annahmen:

  • $dx$ ist sowohl proportional gegenüber der Anzahl der noch vorhandenen („unverbrauchten“) Moleküle $A$ als auch propotional gegenüber der Anzahl der noch vorhandenen („unverbrauchten“) Moleküle $B$:

    $ d x \sim (a-x) $ und $ d x \sim(b-x) $

  • $dx$ ist auch proportional zum Zeitintervall $dt$ (in einem verdoppelten Zeitintervall entstehen auch doppelt so viele neue Moleküle):

    $ d x \sim d t $

Dies fürt uns zu:

\begin{align} d x \sim(a-x)(b-x) d t \end{align}

Aus diesen Annahmen wird eine Gleichung, wenn wir einen Proportionalitätsfaktor $k$ einführen, der auch „Geschwindigkeitskonstante“ genannt wird:

\begin{align}
d x=k(a-x)(b-x) d t \Rightarrow \frac{d x}{d t}=k(a-x)(b-x)
\end{align}

Die Beschreibung der Reaktion 2. Ordnung erfolgt also durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung.