Das Teilchen im Kasten

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Einführung

Das Teilchen im Kasten

Das Teilchen im Kasten ist ein Modell in der Quantenmechanik, bei dem sich ein freies Teilchen in einem Kastenpotential befindet.

Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten für (a) freie Teilchen und vollständig definierten Impuls, (b) freie Teilchen mit einer gleichmäßig verteilten Impulsunsicherheit und (c) freie Teilchen mit einer Gaußschen verteilten Impulsunsicherheit.

Energieniveaudiagramm für ein Elektron in einem quadratischen 2D-Kasten mit den Abmessungen 5 Å × 5 Å. Entartung wird beispielsweise für die Zustände (n, m) = (3, 2) und (2, 3) beobachtet, die eine Energie von 19.555 eV aufweisen. Die entsprechenden Wellenfunktionen sind auf der rechten Seite aufgetragen und zeigen eine unterschiedliche Verteilung von Knoten für jeden Zustand, der durch eine unterschiedliche Wellenfunktion beschrieben wird.
Energieniveaudiagramm für ein Elektron in einem quadratischen 2D-Kasten mit den Abmessungen 5 Å × 5 Å. Entartung wird beispielsweise für die Zustände (n, m) = (3, 2) und (2, 3) beobachtet, die eine Energie von 19.555 eV aufweisen. Die entsprechenden Wellenfunktionen sind auf der rechten Seite aufgetragen und zeigen eine unterschiedliche Verteilung von Knoten für jeden Zustand, der durch eine unterschiedliche Wellenfunktion beschrieben wird.

Wellenfunktionen (links) und Wahrscheinlichkeitsdichten (rechts) für ein Elektron in einer endlichen Box mit Vo = 8 eV und L = 10 Å. Die grün hinterlegten Bereiche entsprechen der Tunnelwahrscheinlichkeit.

Der Tunneleffekt

Beim Tunneleffekt kann ein Quantenteilchen eine Energiebarriere überwinden, die im klassischen Bild unmöglich zu überwinden wäre. Es ist so ähnlich, wie wenn eine Murmel, die ruhig in einer Glasschüssel liegt, plötzlich auf dem Tisch direkt neben der Glasschüssel liegen würde. In der Quantenmechanik ist dies möglich, weil sich eine Wellenfunktion teilweise auch jenseits einer Energiebarriere ausbreitet – daher besteht (je nach Art der Barriere) auch eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen auf der anderen Seite der Barriere befindet. Die Überwindung von Energiebarrieren durch Tunneln spielt in der Kernfusion eine Rolle, die unsere Sonne und andere Sterne zum Leuchten bringt.

1897 beobachtete Robert Williams Wood den Tunneleffekt in einem Experiment bei der Feldemission von Elektronen im Vakuum, ohne ihn deuten zu können. 1926 hat Friedrich Hund den Tunneleffekt (dessen Entdeckung oft George Gamow zugeschrieben wird) zuerst bei isomeren Molekülen entdeckt und beschrieben.

Schauen wir uns einmal den radioaktiven Zerfall von Polonium-212 an (so wie Gamow es tat). Ein Stück Polonium-212 zerfällt zum Beispiel mit einer Halbwertszeit von 0,3 Mikrosekunden und strahlt dabei Alphateilchen (Heliumkerne) ab. Diese haben typische Energien von etwa 9 MeV. Aber das Alphateilchen sollten der klassischen Physik zufolge 26 MeV benötigen, um die Bindungsenergie des Kerns überwinden zu können. Es sollte also überhaupt nicht entkommen können. Ganz offensichtlich passiert aber genau das. Was geschieht dabei? Aufgrund der Unbestimmtheiten der Quantenmechanik gibt es die geringe Wahrscheinlichkeit, dass ein Alphateilchen den Kräften des Kerns entkommen kann. Das Alphateilchen kann durch die hohe Energiebarriere „tunneln“. Die Wahrscheinlichkeit dafür kann mithilfe des Quadrates der (bzw. einer) Schrödingergleichung berechnet werden.

Evaneszente Wellen

Literatur

Im am Anfang des Jahres erschienenen Artikel „Implementing New Educational Platforms in the Classroom: An Interactive Approach to the Particle in a Box Problem“ von Cruzeiro et al. wird eine Reihe interaktiver Quantenchemie-Lernplatformen auf Basis der „Jupyter-Notebooks“ vorgestellt. Jupyter kann so in eine Serverumgebung implementiert werden, in der der Code für Studenten nicht sichtbar ist und die Funktionalität über eine benutzerfreundliche Oberfläche erhalten bleibt. In diesem Fall wurde Jupyter benutzt um eine interaktive Lernplatform zum Teilchen im Kasten zu kreieren. Die Notebooks stehen hier zum Download bereit und können hier aufgerufen werden.

Zitate

Hier einige (schöne) Zitate:

Wer von der Quantenmechanik nicht schockiert ist, hat sie nicht verstanden.“ – Niels Bohr, 1958

Die Quantenmechanik ist sehr Achtung gebietend. Aber eine innere Stimme sagt mir, dass
das noch nicht der wahre Jakob ist. Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns kaum näher. Jedenfalls bin ich überzeugt, dass der Alte nicht würfelt.
“ – Albert Einstein in einem Brief an Max Born, 4. Dezember 1926

Ich liebe es, mit Gleichungen herumzuspielen, nur um schöne mathematische Zusammenhänge zu suchen, die vielleicht überhaupt keine physikalische Bedeutung haben. Manchmal haben sie eine.“ – Paul Dirac, 1963

Aufgaben

Die im folgenden Aufgaben stammen unter anderem von Cruzeiro et al. und Atkins et al., sind so oder ähnlich aber auch in diversen Übungsbüchern zu finden.

Aufgabe 1

Schaue Dir das Modell eines Teilchens im 1- und 2D-Kasten unter diesem Link genauer an und beantworte dann folgende Fragen für ein Teilchen in einem quadratischen Kasten mit der Kantenlänge von 8.72 Å:

  1. Wie viele entartete Zustände sind für Energien unter 13 eV möglich?
    (Hinweis: Verwende einen Wert von n oder m, der größer als 4 ist.)
  2. Liste für jedes Energieniveau mit entarteten Zuständen alle Gruppen entarteter Wellenfunktionen auf und kennzeichne diese entsprechend ihrer $n_x$- und $n_y$-Quantenzahlen.

Aufgabe 2

Betrachte das Molekül 1,6-Diphenyl-1,3,5-hexatrien: Der Bereich des linearen Polyens (ohne die Phenylringe) kann unter Verwendung eines 1D-Kastens der Länge L modelliert werden.

  1. Für 1,6-Diphenyl-1,3,5-hexatrien wird der ni = 3 → nf = 4 Übergang bei einer Wellenlänge von ungefähr 358 nm beobachtet, wie lang ist das π-Elektronensystem?
  2. Hinter diesem Link verbirgt sich die Möglichkeit die Wahrscheinlichkeitsdichten darzustellen. Stelle Die Wahrscheinlichkeitsdichte |𝜓(𝑥)|2 für n=3 dar, dabei entspricht die Größe der des 1D-Kastens der Länge des konjugierten Netzwerks.
  3. Wenn wir die Länge des konjugierten Systems als Kastengröße betrachten, welche Position ist für ein Elektron im n=3-Zustand am wahrscheinlichsten und welche am unwahrscheinlichsten?

Aufgabe 3

Berechne die Energieniveaus eines Elektrons in einer Box mit einer Breite von 1 Angström.

  1. Verwende diese Werte, um einen Graphen mit vier Diagrammen zu erstellen
    1. Trage die Energie jedes Levels als Funktion der Quantenzahl auf.
    2. Trage die Energietrennung zwischen den Ebenen als Funktion der Quantenzahl auf.
    3. Trage diese beiden Größen zusammen auf.
    4. Trage das Verhältnis von ΔE / E.b.
  2. Was kannst Du über das Verhalten des Systems bei steigender Quantenzahl (bei festem und gegebenem T) schließen? (Hinweis: Bohrs Korrespondenzprinzip)

Dieses Problem kann auch mit einem $H_2$-Molekül (m($H_2$)=$2 \cdot 1836$ $m_e$) untersucht werden, dass als 1D-Kasten mit einer Kantenlänge von $500$ $pm$ angenähert werden kann.

Aufgabe 4

Zeige, dass die Funktion

$\Psi_{n_{x}, n_{y}}(x, y)=A \sin \left(\frac{n_{x} \pi}{a} x\right) \sin \left(\frac{n_{y} \pi}{b} y\right)$

eine Eigenfunktion des Hamilton-Operators eines Teilchens in einer 2D-Box der Längen $a \cdot b$ ist.

  • Gibt es bei einer quadratischen Box von $5$ Å $\cdot$ $5$ Å irgendwelche entarteten Zustände bei oder unter $E = 19.6$ $eV$? Wenn ja, schreibe die vollständige Eigenfunktion für jeden Zustand auf (Hinweis für Jupyter: Masse = Masse eines Elektrons).
  • Skizziere das Diagramm für die Wahrscheinlichkeitsdichte für jeden gefundenen Zustand.
  • Wie viele Nullstellen (Knoten) gibt es in jede Richtung? Kannst Du die Anzahl der Nullstellen vorhersagen, ohne die 2D-Wellenfunktion zu plotten?

….

Lösungen

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3