Trägheitsmoment eines nichtlinearen vieratomigen Moleküls – Übungsaufgabe

Du bist hier:

Aufgabe 1: Trägheitsmoment eines trigonal planaren Moleküls

Übungsaufgabe zur Berechnung der Trägheitsmomente eines nichtlinearen vieratomigen Moleküls - trigonal planares Molekül.

Zeige, dass die Komponenten des Trägheitsmoments des rechts dargestellten trigonal planaren Moleküls $I_{x x}=I_{y y}=3 m / 2$ und $I_{z z}=3 m$ sind, wenn alle Atome die Masse $m$ aufweisen, alle Bindungen gleich lang sind und alle Bindungswinkel $120^{\circ}$ betragen.

Lösung 1: Trägheitsmoment eines trigonal planaren Moleküls

Symmetriebetrachtung

Physikalische Chemie: Symmetrieelemente eines trigonal planaren, vieratomigen Moleküls. | (C) Marvin Radke
Symmetrieelemente eines trigonal planaren, vieratomigen Moleküls. | (C) Marvin Radke

Das Betrachtete Molekül gehört zur Punktgruppe $\mathbf{D}_{3 h}$ und enthält:

  • Eine $\mathbf{C}_{3}$-Drehachse.
  • Drei $\mathbf{C}_{2}$-Achsen, die senkrecht zur $\mathbf{C}_{3}$ -Achse stehen.
  • Drei $\mathbf{\sigma}$-Spiegelebenen, welche die $\mathbf{C}_{3}$-Hauptdrehachse enthalten und daher als vertikale Spiegelebenen ($\mathbf{\sigma}_{\mathbf{v}}$) bezeichnet werden. Sie halbieren jeweils einen Bindungswinkel.
  • Eine senkrecht zur Hauptachse, also horizontal liegende Spiegelebene ($\mathbf{\sigma}_{\mathbf{h}}$)
  • Eine $S_{3}$-Achse

Eine schöne Visualisierung der Symmetrieoperationen kannst Du hier finden.

Der Massenschwerpunkt jedes Moleküls mit Symmetrieachsen bzw -ebenen liegt auf einer dieser Achsen bzw. Ebenen.

Wir erkennen schon, dass der Massenschwerpunkt im Zentralatom des Moleküls liegen muss. Das könnte man natürlich noch rechnerisch mit dem Satz von Steiner beweisen, darauf verzichten wir aber an dieser Stelle und heben uns das für ein anderes Molekül auf (Link folgt).

Die Zuordnung der Raumachsen erfolgt so:

  • $z$-Achse: Entspricht der $\mathbf{C}_{3}$-Drehachse.
  • $y$- und $x$-Achse spannen eine Ebene senkrecht zur $\mathbf{C}_{3}$-Achse auf, die Zuordnung kann hier beliebig erfolgen.
  • Der Ursprung liegt im Zentralatom

Berechnung der Trägheitsmomente

Da der Massenschwerpunkt des Moleküls in seinem Zentrum liegt ergeben sich die Trägheitsmomente $I_{x x}$ und $I_{y y}$ wie folgt:

$I_{x x}=\sum m_{j} y_{j}^{2}=m(1)^{2}+2 m\left(\sin ^{2} 30^{\circ}\right)=\frac{3}{2} m$

$I_{y y}=\sum m_{j} x_{j}^{2}=m(0)^{2}+2 m\left(\cos ^{2} 30^{\circ}\right)=\frac{3}{2} m$

Die $x$- bzw. $y$-Koordinaten erhalten wir durch Anwendung des $cos$- bzw. $sinus$-Satzes und der einfachen Überlegung, dass die betrachteten Winkel $30^{\circ}$ aufweisen müssen, da der Bindungswinkel $120^{\circ}$ beträgt und so bis zur $x$- bzw $y$-Achse in Summe noch $60^{\circ}$ für beide Winkel verbleiben.

Für ein planares Molekül ergibt sich das Trägheitsmoment $I_{z z}$ aus der Summe der beiden anderen Trägheitsmomente:

$I_{z z}=\sum m_{j} x_{j}^{2}+\sum m_{j} y_{j}^{2}=3 m$

Anmerkungen

Herleitung der Komponenten des Trägheitstensors

Die Trägheitsmomente $I_{ii}$ sind natürlich Komponenten des Trägheitstensors:

$\tilde{\mathbf{I}}=\left(\begin{array}{ccc}{\tilde{I}{x x}} & {\tilde{I}{x y}} & {\tilde{I}{x z}} \\ {\tilde{J}{y x}} & {\tilde{I}{y y}} & {\tilde{I}{y z}} \\ {\tilde{I}{x z}} & {\tilde{I}{y z}} & {\tilde{I}_{z z}}\end{array}\right)$

$ \tilde{\mathbf{I}} =\left(\begin{array}{ccc}{\sum m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)} & {-\sum m_{i} x_{i} y_{i}} & {-\sum m_{i} x_{i} z_{i}} \\ {-\sum m_{i} y_{i} x_{i}} & {\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)} & {-\sum m_{i} y_{i} z_{i}} \\ {-\sum m_{i} z_{i} x_{i}} & {-\sum m_{i} z_{i} y_{i}} & {\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)}\end{array}\right)$

Die nichtdiagonalen Elemente können wir aber vernachlässigen, da das Molekül symmetrisch ist:

$\mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc}{I_{x x}} & {0} & {0} \\ {0} & {I_{y y}} & {0} \\ {0} & {0} & {I_{z z}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{I_{x}} & {0} & {0} \\ {0} & {I_{y}} & {0} \\ {0} & {0} & {I_{z}}\end{array}\right)$

Und da die $z$-Achse senkrecht auf unserer Molekülebene steht, sind die $z$-Koordinaten gleich null und fallen weg:

$\tilde{I}{x x}=\sum m{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right) = \sum m{i}\left(y_{i}^{2}\right) $

$\tilde{I}{x x}=\sum m{i}\left(x_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right) = \sum m{i}\left(x_{i}^{2}\right) $

Reale Moleküle

  • Das Molekül von $\mathrm{BF}_{3}$ ist trigonal planar. Seine D3h-Symmetrie stimmt mit der Vorhersage der VSEPR-Theorie überein. Aufgrund seiner hohen Symmetrie besitzt das Molekül kein Dipolmoment.
  • ($\mathrm{PCl}_{5}$ ist ein neutrales Molekül mit trigonaler bipyramidaler Geometrie und (D3h)-Symmetrie (im gasförmigen Zustand).)




Dir hat der Artikel gefallen?
Dann unterstütze uns doch durch eine kleine Spende und gib uns einen Kaffee aus:

Buy me a coffeeBuy me a coffee

Abbildungen

Chemiestudium: Physikalische Chemie - Übungsaufgaben | (C) Marvin Radke

Du möchtest die 3D-Abbildungen für Deinen Vortrag, Deine Übungsaufgaben oder sonstigen Ausarbeitungen benutzen und so die Symmetrie eines nichtlinearen vieratomigen Moleküls besonders anschaulich visualisieren? Die kannst Du ebenfalls auf buymeacoffee.com bekommen.

Verweise

Weblinks