Übungsaufgaben

Im folgenden sind ein paar kurze Übungsaufgaben zum Modul „Mathematik für Chemiker 2“ nach Themen sortiert dargestellt. Die Lösungen folgen in nebulöser Zukunft, wer diese bis dahin benötigt, wendet sich bitte über das Kontaktformular an uns.

Zu unseren Literaturhinweisen (Link).

Integration durch Substitution

Berechnen Sie mittels geeigneter Substitution das folgende Integral mit $t = const.$

\begin{align} – \int \frac{\frac{1}{2}t^2 – \sqrt{2} \cdot y}{\left( \sqrt{2} \cdot y^2 – t^2 \cdot y\right)^2} d y $ \end{align}

Kurvenintegrale

Berechnen Sie das wegabhängige Kurvenintegral $\int_C \vec{F} \cdot d \vec{r}$ in $x$ mit $\vec{F}^{T}= (xy)(-y^2)^{T}$ von $(0/0)$ bis $(2/1)$ entlang er Kurve $C$: $y= \left( \tfrac{x}{2} \right)^2 = \tfrac{1}{4} \cdot x^2$ erneut und zeigen Sie Ihren Rechenweg ausführlich.

Stellen Sie das geschlossene Kurvenintegral über das Vektorfeld $\vec{F}$ entlang der Funktionen $y=x^2$ und $y=4$ in einer Koordinate Ihrer Wahl (in $x$, $y$ oder im Kurvenparaeter $t$) auf. Berechnen Sie dieses Integral nicht. Skizzieren Sie den Integrationsweg in der $xy$-Ebene. Bedenken Sie die mathematisch positive Umlaufrichtung ihres Weges.

\begin{align}
\vec{F} =\begin{pmatrix} {x^2 – y}\\ {x + y} \end{pmatrix}
\end{align}

Greens Theorem

Berechnen Sie das Kurvenintegral $\int_\gamma \vec{F} \cdot d \vec{r}$ aus der vorherigen Aufgabe mit Hilfe von Greens Theorem in das dazugehörige Bereichsintegral um, und berechnen Sie dieses. Ist das Vektorfeld $\vec{F}$ konservativ? Mit welcher Regel/Operation haben Sie dies überprüft?im Kurvenparameter $t$:

\begin{align}
\vec{F} = \begin{pmatrix} {x^2 – y} \\ {x + y}\end{pmatrix}
\end{align}

Orthonormieren von Vektoren

Orthonormieren Sie die Vektoren $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ zueinander.

\begin{align}
\vec{v_1} = \begin{pmatrix} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{pmatrix}
\end{align}

\begin{align}
\vec{v_2} = \begin{pmatrix} {3} \\ {1} \\ {2} \end{pmatrix}
\end{align}

Orthonormieren von Funktionen

Orthogonalisieren Sie im Intervall $\left[ -1,\, +1 \right] $ die Funktion $h(x) = x^3$ zu den angegebenen ersten drei Legendre-Polynomen:

\begin{align}
P_0 (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}

\begin{align}
P_1 (x) = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot x
\end{align}

\begin{align}
P_2 (x) = \sqrt{\frac{5}{8}} \cdot \left(3x^2 – 1\right)
\end{align}

Fourierreihe

Definiert ist die Funktion $f(x) = \left( x\right) =\begin{cases}x+\pi \\ x-\pi \end{cases}$ im Intervall $\begin{cases} x \in \left[ – \pi; 0\right] \\ x \in \left[ \,\,\,\,\,0; \, \pi\right] \end{cases}$

  • Skizzieren Sie die Funktion $f(x)$ Im Intervall $\left[ – \pi; \, \pi\right] $
  • Führen Sie eine Symmetriebetrachtung der Funktion $f(x)$ durch. Was bedeutet das für die Entwicklung der Fourierreihe?
  • Skizzieren Sie die Fourierreihe im Intervall $\left[ – 3 \pi; \, 3 \pi\right] $, die Sie erhalten würden, wenn Sie die Funktion $f(x)$ im Intervall $\left[ – \pi; \, \pi\right] $ entwickelten.
  • Berechnen Sie die Entwicklungskoeffizienten der Fourierreihe der Funktion $f(x)$ im Intervall $\left[ – \pi; \, \pi\right] $.
  • Stellen Sie die Fourierreihe auf und schreiben Sie die ersten drei von Null verschiedenen Terme explizit auf.

Rechnen mit Matrizen

Gegeben sind die folgenden Matrizen und Vektoren:

\begin{align}N =\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\end{align}

\begin{align}A =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\end{align}

\begin{align}R =\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\end{align}

\begin{align}F =\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} \\ -1 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}\end{align}

  • Welche dieser Matrizen können addiert werden? Tragen Sie in alle Felder Ja oder Nein ein.
  • Welche dieser Matrizen können miteinander multipliziert werden?
  • Zeigen und erklären Sie ohne explizite Inversion für jede Matrix $N$, $A$ und $F$, ob sie invertierbar ist oder nicht.

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Berechnen Sie zur Matrix $G$ die Eigenwerte und die Eigenvektoren. Wie viele Eigenwerte und -vektoren erwarten Sie?

\begin{align}G =\begin{pmatrix} -10 & \frac{15}{2} & 0\\ -20 & 15 & 0 \\ 40 & -20 & 5 \end{pmatrix}\end{align}

Transformationsmatrizen

Stellen Sie mit Ihrem Wissen über Matrix-Vektor-Multiplikation Transformationsmatrizen, die die folgenden Operationen ausführen, im $R^3$ auf.

\begin{align}N =\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} \\ -1 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}\end{align}

\begin{align} \vec{b} = \begin{pmatrix}{\sqrt{2}}\\{-1}\\{3 \pi}\end{pmatrix}\end{align}

  • Die Matrix $V$: Spieglung an der $y-z$-Achse. Berechnen Sie $V\cdot \vec{b}$.
  • Die Matrix $S$: Vertauschen der $y$- und $z$-Komponente. Berechnen Sie $S \cdot F$.
  • Die Matrix $T$: Streckung um den Faktor $-\pi $ in $z$-Richtung. Berechnen Sie $T \cdot \vec{b}$.

Siehe auch: Drehung einer Matrix mittels Drehmatrix.

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen diagnostizieren

Aufgabe 1 – Vollständige Diagnose

Führen Sie eine vollständige Diagnose der vorliegenden Differentialgleichungen durch und nennen Sie das anzuwendende Lösungsverfahren (Flow-Chart). Dabei ist es unerheblich, ob Sie dieses Verfahren beherrschen. Lösen Sie die Differentialgleichungen nicht.

\begin{align}
\left( 1 + x^{2}\right) y – \left( 1- y^2\right) xy‘  = 0
\end{align}

\begin{align}
y – xy‘ +x^2 y  = -y‘ y^{2} x
\end{align}

Die Lösung zu dieser Aufgabe kannst Du als PDF-Dokument „DGL_Diagnose_Analyse.pdf“ herunterladen (ca. 200 kB).

Exakte Differentialgleichungen

Aufgabe 1: Prüfung einer exakten Lösung einer Differentialgleichung

Überprüfen Sie rechnerisch, ob $c$ die exakte Lösung der vorliegenden Differentialgleichung ist:

\begin{align}
\left( 2y + c \cos(xy)\right)y‘ = -y \cos(xy) \end{align}

\begin{align}
c = z(x, y) =\sin(xy) + y^2
\end{align}

Die Lösung zu dieser Aufgabe kannst Du als PDF-Dokument „exakte_DGL.pdf“ herunterladen (ca. 100 kB).

Lösungen zu den Testaufgaben „Mathematik für Chemiker 2“

Die Lösungen sollen später folgen, bis dahin kontaktier uns doch einfach.