Übungsaufgaben: Vektoranalysis

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Auf dieser Seite präsentieren wir Übungsaufgaben zur Vektoranalysis. Die Lösungswege werden auf der zweiten Hälfte des Artikels dargestellt.

Ein kurzer Tipp von uns: Das Projekt „Explained Visually“ hat einige wunderschöne Visualisierungen auf Lager – unter anderem zu Eigenvektoren und Eigenwerten.

Aufgaben

Einführung

Vektorprodukt

Aufgabe 1-VP: Berechne $\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}$. Was sagt das Ergebnis aus?

$\overrightarrow{v_{1}} = \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix} \quad \quad \quad \overrightarrow{v_{2}} = \begin{pmatrix}0\\0\\ \sqrt{3} \end{pmatrix} $

Kreuzprodukt

Aufgabe 1-KP: Berechne mit $\overrightarrow{v_{1}}$ aus Aufgabe 1-VP das Kreuzprodukt $\overrightarrow{v_{1}} \times \overrightarrow{v_{3}}$.

$\overrightarrow{v_{3}}= \begin{pmatrix}4\\3\\0 \end{pmatrix}$

Linearkombination

Aufgabe 1-LK: Sind die unten dargestellten Vektoren linear voneinander abhängig?

$\overrightarrow{v_{1}} = \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix} \quad \quad \overrightarrow{v_{2}} = \begin{pmatrix}0\\0\\ \sqrt{3} \end{pmatrix} \quad \quad \overrightarrow{v_{3}}= \begin{pmatrix}4\\3\\0 \end{pmatrix}$

Lösungen

Einführung

Vektorprodukt

Aufgabe 1-VP: Berechne $\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}$.

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren $\vec{a}=\left(x_{1 a}, x_{2 a}, x_{3 a} \right)$ und $\vec{b}=\left(x_{1 b}, x_{2 b}, x_{3 b} \right)$ im $\mathbb{R}^{3}$ ist definiert durch:

$\phi(\vec{a}, \vec{b}):=\vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_{i} x_{i a} x_{i b}=x_{1 a} x_{1 b}+x_{2 a} x_{2 b} +x_{3 a} x_{3 b}$

Daher ergibt $\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}$:

$\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}= \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}} = 1 \cdot 0+(-2) \cdot 0+0 \cdot \sqrt{3}$

$\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}} = 0$

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist immer dann Null, wenn die Vektoren orthogonal zueinander stehen.

Kreuzprodukt

Aufgabe 1-KP: Berechne mit $\overrightarrow{v_{1}}$ aus Aufgabe 1-VP das Kreuzprodukt $\overrightarrow{v_{1}} \times \overrightarrow{v_{3}}$. Wie steht das Ergebnis in Zusammenhang mit $\overrightarrow{v_{2}}$?

Das Vektorprodukt, bzw. Kreuzprodukt, ergibt sich durch die Determinante einer quadratischen Matrize, die sich mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lässt:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} \vec{e}_{1} & a_{1} & b_{1} \\ \vec{e}{2} & a_{2} & b_{2} \\ \vec{e}{3} & a{3} & b_{3} \end{bmatrix}$

$\vec{a} \times \vec{b} =\vec{e}_{1} a_{2} b_{3}+a_{1} b_{2} \vec{e}_{3}+b_{1} \vec{e}_{2} a_{3} -\vec{e}_{3} a_{2} b_{1}-a_{3} b_{2} \vec{e}_{1}-b_{3} \vec{e}_{2} a_{1}$

$\vec{a} \times \vec{b} = \left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \vec{e}{1}+\left(a{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\right) \vec{e}{2}+\left(a{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \vec{e}_{3}$

Es ist aber auch möglich das Kreuzprodukt durch den Laplaceschen Entwicklungssatz zu ermitteln und eine Matrize nach einer Zeile bzw. Spalte zu entwickeln:

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e}_{1} \begin{bmatrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{bmatrix} – \vec{e}_{2} \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{3} & b_{3} \end{bmatrix} +\vec{e}_{3} \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix}$

$\vec{a} \times \vec{b} =(-2 \cdot 0 – 0 \cdot 2) \vec{e}_{1}+(1 \cdot 0 – 0 \cdot 4) \vec{e}_{2}+(1 \cdot 2 – (-2) \cdot 4) \vec{e}_{3}$

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix}$

Das Ergebnis ist offensichtlich ein Vielfaches des Vektors $\overrightarrow{v_{2}}$. Die beiden Vektoren sind linear voneinander abhängig.

Linearprodukt

Aufgabe 1-LK: Sind die Vektoren linear voneinander abhängig?

Die lineare Unabhängigkeit von $\overrightarrow{v_{1}}$, $\overrightarrow{v_{2}}$ und $\overrightarrow{v_{3}}$ kann durch die Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrize bestimmt werden:

$\operatorname{det}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \end{bmatrix}$

Die Entwicklung nach der ersten Zeile ergibt:

$\operatorname{det}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) = 1 \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ \sqrt{3} & 0 \end{bmatrix} – 4 \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \end{bmatrix}$

$\operatorname{det}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) = -2 \sqrt{3}-8 \sqrt{3}$

$\operatorname{det}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) = -10 \sqrt{3}$

Die Vektoren sind linear unabhängig voneinander.